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[硕士论文] 俞勇
应用数学 安徽理工大学 2018(学位年度)
摘要:本文研究非正则半群的特殊性质,主要是从子半群格的角度来描述非正则半群的性质,特别是GV-逆半群的子半群格以及全子半群格。
  全文共分四章:
  第一章是引言部分,主要阐述论文研究背景和国内外现状以及文章研究思路。
  第二章主要研究GV-逆半群中子半群格是下半分配格的性质,引入幂零半群和拟周期半群的性质,来描述子半群格是下半分配格的GV-逆半群的性质,同时对某些性质进行推论,得到新的结论,最后给出一个GV-逆半群的子半群格是下半分配格的充分必要条件。
  第三章主要研究GV-逆半群中子半群格是0-模格的性质,引入单拟周期半群和带的性质,来描述子半群格是0-模格的GV-逆半群的性质,给出在满足条件时,Es是带,利用这个最后给出一个GV-逆半群的子半群格是0-模格的充分必要条件。
  第四章主要研究GV-逆半群中全子半群格的性质,特别是当全子半群格是分配格时,GV-逆半群所具有的独特性质,引入单拟周期半群的性质和半群同态来刻画全子半群格是分配格的性质,最后给出GV-逆半群的全子半群格是分配格的充分必要条件。
[硕士论文] 王磊
应用数学 安徽理工大学 2018(学位年度)
摘要:本文主要讨论广义的稳定秩1环的K2群,全文共分五章。
  第一章简述了代数K-理论的发展史,我们的工作背景和文章的结构。
  第二章叙述了环的K0,K1,K2群的基本相关概念,重点给出了稳定秩1环的K2群的表示。
  第三章我们考察了Steinberg群St3(R)的性质,重点研究了St3(R)群的子群M3(R),并给出了其代表元和基本的性质。
  第四章从KR群出发,研究了广义的Keune符号的若干性质,以第三章中的K(R)群,H3(R)群,M3(R)群为模板,构造了(M)3(R)群,并给出了其所有的代表元和基本的性质。
  第五章是关于文章的总结和展望,对下一步需要关注和研究的问题进行了说明。
[硕士论文] 陈丹
基础数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:李代数的一个分支为李超代数,在数学领域起着重要的作用.李超代数已经引起许多学者的广泛关注.本文主要研究Block型的李超代数SB(q)的超导子代数及其超双导子代数.其中主要研究结果如下:
  第一,本文借鉴Block型李代数导子的研究方法,分别研究SB(q)超导子的偶部与奇部.给出SB(q)超导子代数的结构.首先,介绍了研究背景、研究现状和Block型代数的发展趋势;然后,给出李超代数超导子的结构.
  第二,探讨李超代数SB(q)超导子的应用.借助给出的李超代数超导子的结构阐明其超双导子的结构.
[硕士论文] 丁肇博
基础数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:李代数的结构和表示理论是李代数研究的热门问题.Virasoro代数在数学与物理中的许多领域都有着非常重要的作用,而Virasoro型李代数是与Virasoro代数密切相关的一类李代数.伽利略共形代数(GCA)和Wg(0,1)代数都是Virasoro型李代数.本文主要对伽利略共形代数的双导子以及Wg(0,1)的双导子进行了研究.
[硕士论文] 李晓彤
基础数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:在本文中,在没有反对称条件下求出Twisted Heisenberg-Virasoro代数的双导子.我们得到一些非内的且非反对称的双导子.在应用中,刻画了Twisted Heisenberg-Virasoro代数上的线性交换映射以及交换的Post-Lie代数结构,并证明了阶化Ttwisted Heisenberg-Virasoro左对称代数上的每一个双导子都是平凡的.
  第一章主要介绍了本文的研究背景,国内外研究现状,发展趋势以及本文研究的目的和意义,并且给出了导子和双导子的定义.
  第二章给出了一些预备知识,主要是与本文相关的基本概念,以及结论中用到的引理.
  第三章研究了Twisted Heisenberg-Virasoro代数的双导子,并给出Twisted Heisenberg-Virasoro代数的双导子是非内的.
  第四章作为应用,给出了Twisted Heisenberg-Virasoro代数的post-Lie代数及左对称代数结构等应用.
[硕士论文] 李雯惠
基础数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:李超代数是在李代数基础上发展起来的一个代数学分支.关于李超代数某些问题的研究方法常借鉴于李代数的研究方法.本文就是借鉴W-代数W(2,2)的双导子的研究方法,对超W-代数W(2,2)的超双导子进行了研究.
  本文针对超W-代数W(2,2)的超双导子进行了研究.利用线性代数中双线性函数的一些结论和李超代数的定义以及超W-代数的超导子计算超W-代数W(2,2)的超双导子,从而得到超W-代数W(2,2)的超双导子是非内的.最后,应用超双导子刻画了超W-代数W(2,2)的线性超交换映射的形式.
[硕士论文] 杨宇
数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:双导子是代数结构理论的一个重要课题,Bre(s)ar曾经证明所有交换素环上的双导子都是内双导子。这个理论在研究交换映射中是有用的。2011年的一篇文章中介绍了李代数的双导子的概念。从那以后,越来越多的学者开始研究李代数的双导子。因此,研究一些李代数的双导子是有意义的。本文中,我们将研究Schr(o)dinger代数和Witt代数的双导子。我们先介绍它们的定义,再证明它们的双导子都是内双导子。最后,我们会给出双导子的一些应用,例如交换线性映射和post-李代数。
[博士论文] 朱昊
基础数学 山东大学 2017(学位年度)
摘要:本文首先研究正则离散施图姆-刘维尔问题的特征值对该问题中各系数的依赖性.一个正则离散施图姆-刘维尔问题是由一个正则离散施图姆-刘维尔方程和一个边界条件组成.知道当方程系数和边界条件系数发生变化时,特征值也随之发生变化.因此,特征值如何随方程系数和边界条件系数的变化而变化就是本文要研究的问题.比如,特征值是否随着方程系数和边界条件系数的变化而连续变化;特征值是否随着方程系数或边界条件系数中某些参数的变化而单调地变化等等.
  本文接下来研究正则自伴离散施图姆-刘维尔问题的第n个特征值对方程系数和边界条件系数的依赖关系.一般情况下,第n个特征值对方程系数和边界条件系数不是连续依赖的.如何找到所有这样的不连续的方程系数和边界条件系数,在不连续点处第n个特征值呈现怎样地渐近行为也是所要研究的问题.发现正则自伴离散施图姆-刘维尔问题的第n个特征值对该问题中各系数的依赖性的研究和正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的相应研究无论是从结果上还是从方法上都有很大的不同.另外,随着计算机技术的发展,数值计算的研究得到广泛的关注.我们的研究对离散施图姆-刘维尔问题的一些数值计算提供了理论基础。
  本文还研究一端点带有奇性的自伴连续施图姆-刘维尔问题的孤立特征值对该问题的边界条件中系数的依赖性.由于问题带有奇性,这增加了研究的困难.特别是在奇异端点是极限点型情形,用于正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的孤立特征值对边界条件依赖性的方法失效.Weyl-Titchmarsh m(λ)-函数理论和一端点带有奇性的连续施图姆-刘维尔问题的谱之间的关系是研究该问题的重要工具.解的先验界估计在该问题的研究中也很重要.该问题的研究在物理中有着重要的应用,比如一些流体线性稳定性与不稳定性的研究,浅水波模型中Cammasa-Holm方程的可积性问题.
  正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的特征值的扰动理论已被广泛地研究.关于正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的特征值对该问题中各系数的依赖性,已经有比较丰富的结果.特别地,孔庆凯、吴宏友和Zettl证明了特征值对方程系数和边界条件的连续依赖性,构建了连续特征值分支,给出了连续特征值分支的微分公式[35,37].他们进一步证明了第n个特征值对方程系数是连续依赖的,对边界条件一般情况下不是连续依赖的,同时他们也找到了第n个特征值作为边界条件组成空间上的函数的所有不连续点,以及在不连续点处附近的渐近行为,从而完全刻画了第n个特征值对边界条件的不连续性[33].对于在时间尺度上的正则施图姆-刘维尔问题的研究,孔庆凯证明了第n个特征值连续依赖于除某些特殊点外的分离型边界条件[32].对于奇异自伴连续施图姆-刘维尔问题的研究,张茂柱、孙炯和Zettl证明了在本质谱下确界下方的第n个特征值对边界条件中所有参数是连续依赖的,并给出了它们的微分公式[57].
  本文的具体安排如下:
  本文分为五章.第一章是预备知识.首先,介绍正则离散施图姆-刘维尔方程和边界条件组成空间,进而介绍正则离散施图姆-刘维尔问题组成空间和正则自伴离散施图姆-刘维尔问题组成空间.接下来介绍正则离散施图姆-刘维尔问题的特征值的一些基本性质.然后介绍一端点奇异的自伴连续施图姆-刘维尔问题的边界条件组成空间.最后介绍一端点奇异的自伴连续施图姆-刘维尔问题的特征值的一些基本性质.
  第二章研究正则离散施图姆-刘维尔问题的特征值对该问题中各系数的依赖性.首先,给出了特征值解析重数和几何重数之间的关系.特别地,当该问题是自伴问题时,直接证明了特征值的解析重数和几何重数相等.然后证明了充分接近于一个给定问题的所有问题都有这样的特征值,使得它充分接近于这个给定问题的任何一个给定的特征值.接下来,证明了正则离散施图姆-刘维尔问题的每个单特征值都落在一个所谓的连续单特征值分支上,正则自伴离散施图姆-刘维尔问题的每个特征值都落在一个连续特征值分支上.最后研究了连续特征值分支的解析性、可微性和单调性.
  第三章研究正则自伴离散施图姆-刘维尔问题的第n个特征值对该问题的连续依赖性.把第n个特征值视为正则自伴离散施图姆-刘维尔问题组成空间上的一个函数,称为第n个特征值函数.证明了第n个特征值函数在问题组成空间的一个连通子集上连续的充要条件是在这个子集中每个问题有相同个数的特征值.也研究了第n个特征值函数在问题组成空间的一个子集上的一些性质,其中包括由第n个特征值函数在某参数方向的单调性可以推出它于不连续点处在该方向上的渐近行为等性质.这对研究第n个特征值对问题的连续依赖性起到很重要的作用.然后给出了第n个特征值作为方程组成空间、边界条件组成空间和问题组成空间上的函数的连续点集和不连续点集,以及它在不连续点处附近的渐近行为.
  第四章研究一端点有奇性的自伴连续施图姆-刘维尔问题的孤立特征值对边界条件的连续和可微依赖性.首先证明了特征值对边界条件的局部连续依赖性.如果奇异端点是极限圆型情形,利用类似于正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的相应办法[35,37]来证明奇异问题的特征值的局部连续依赖性.如果奇异端点是极限点型情形,此时谱问题会包含本质谱,这会带来一些困难.这使得上述方法不能应用于此.为此,利用在一个孤立特征值的小邻域内的Weyl-Titchmarsh m(λ)-函数和该奇异问题谱之间的关系得到了孤立特征值对边界条件的局部连续依赖性.然后在边界条件组成空间上建立了通过每个孤立特征值的连续特征值分支.严格证明了在一个连续单特征值分支上的特征值对应的特征向量可以被连续的选取,并且有L2w范数的一致界.这个一致界使得在计算连续特征值分支的微分时,反常积分号和极限号能交换顺序.最后给出连续单特征值分支对边界条件中所有参数的微分公式.从而,也得到了连续特征值分支关于某些参数的单调性.
  第五章对本文进行总结,并对未来工作进行展望.
[博士论文] 万颖
数学;应用数学 东南大学 2017(学位年度)
摘要:神经网络,多智能体系统,复杂网络信息物理系统等多种时滞网络系统的动力学分析和一致性控制是近年来的热点问题,其在通信安全,神经科学,飞行器编队,大规模传感器网络,交通网络等众多领域有着广泛应用,引起了不同领域学者的密切关注。研究这些时滞网络中的动力学和同步现象,将有利于人们更深刻地理解网络环境下的协同机理,也有助于设计更有效的控制协议以实现多样的控制目标。本文主要基于Lyapunov稳定性理论,矩阵测度方法,采样控制理论,网络安全控制思想等,对多种时滞网络系统的动力学,同步以及分布式一致性控制等问题进行了探讨。全文由以下七个部分组成:
  第一章首先介绍了时滞动态网络系统的背景和研究意义,具体阐述了时滞神经网络的研究进展和待解决的热点问题。此外,介绍了多智能体系统协同控制以及采样控制的研究意义和研究进展,并在此基础上详细阐述了本文的主要研究内容和创新点。
  第二章主要研究了两类时滞神经网络的动力学和同步控制问题。第一节讨论了带有时变时滞的惯性神经网络的稳定性和同步控制。利用矩阵测度和Halanay不等式,得到保证惯性神经网络平衡点全局指数稳定的充分性判据。所得的判据以矩阵测度形式给出,判据含义直观且易于验证。通过设计线性反馈控制,得到了可以保证主从惯性神经网络同步的控制器增益需满足的充分性条件。第二节讨论了带有参数不确定性和时变时滞的主从Cohen-Grossberg神经网络的固定时间同步问题。这里的固定时间同步概念中,停息时间与初值无关,故而可以事先人为设定和调整。基于Filippov解的概念和非光滑分析,提出了新的固定时间同步控制策略,得到了保证固定时间同步的控制器参数选取方法。
  第三章讨论了几类动态网络的采样控制问题。第一节中,研究了有向通讯拓扑和随机采样下,双层多智能体系统的均方点到点一致性跟踪问题。通过输入延迟方法和构造不连续Lyapunov泛函,得到了保证每个跟随者的状态在均方意义下渐近跟踪到相应领导者状态的充分性条件。在第二节,考虑了有向图下,多智能体系统基于观测器的镇定问题,并设计了基于采样信息的分布式镇定控制协议。为了镇定整个网络中智能体的状态,所有智能体均可以利用采样时刻邻居间的相对输出信息,假定只有一小部分节点可以利用自身的绝对输出信息。基于输入到状态稳定的性质,给出了控制器增益、观测器增益、耦合强度的设计方法,以及可容许采样间隔上界需满足的条件。此外,还讨论了相应线性矩阵不等式判据的可解性。在第三节,研究了带有分布式传感器、量化过程和网络通讯时滞的主从混沌神经网络的同步问题。在每个采样时刻,根据指定的调度策略,仅选取其中一个传感器将其最新更新的状态传送至控制器端。从而,基于调度协议的通讯和控制策略将更为节能。为了保证主从混沌系统在调度协议下的量化同步,得到了关于输出反馈增益矩阵,可容许的采样间隔上界,以及网络时延上界的充分条件。
  第四章研究了间歇控制策略下,带有线性动力学的多智能体系统的分布式鲁棒镇定问题。在有向通讯拓扑下,假设每个智能体的动力学中带有未知不确定性。假设根节点的控制输入可以额外且间歇地利用自身的绝对状态信息,而其他所有节点可以连续地利用邻居间的相对状态信息。为了镇定整个网络的状态,给出了选取控制参数的算法,并利用有向图理论和Lyapunov稳定性理论给出了间歇控制的时间比率。
  第五章在信息物理系统的框架下,讨论了带有Lipschitz非线性的动态网络系统的分布式跟踪问题。由于实际中的诸多限制,智能体的状态往往不可直接获取来设计控制输入,故而首先设计了观测器以重构智能体的状态信息。假设控制器和观测器的通讯网络均可能遭受网络攻击,这些攻击将破坏相应通讯拓扑的连通性且攻击对不同的通讯网络的影响相互独立。给出了新的网络安全控制协议,并提供了选取反馈增益矩阵和耦合强度的算法。
  第六章考虑了多区域时变时滞下城市路网的自适应周界控制问题。首先,基于宏观基本图概念,提出了区域中车辆数所满足的非线性常微分方程模型。该模型包含车辆驶往区域边界的行驶时间以及交通拥塞的疏散过程,其分别建模为输入和状态时滞。控制目标为调节每个区域的车辆数至期望值。基于模型参考自适应控制和渐近滑模控制方法,仅利用参考模型的信息,设计了相应的自适应控制策略,并证明了跟踪误差的收敛性。
  第七章对本论文进行了全面的总结,并对今后的研究方向进行了展望。
[博士论文] 周楠
数学;应用数学 东南大学 2017(学位年度)
摘要:本篇博士论文主要围绕弱乘子Hopf代数上的作用理论展开一系列深入研究,主要表现在以下几个方面:
  首先,我们给出弱乘子Hopf代数上模代数的定义,并且给出一系列的例子.然后给出了相应的smash积的构造,统一了乘子Hopf代数和弱Hopf代数相应的概念.进一步的,我们研究了双边smash积.最终我们得到了作用和smash积上的对偶作用之间的对偶定理.
  然后,通过继续深入研究smash积,我们构造了新的弱乘子Hopf代数(代数量子群胚)的例子.具体来说就是在smash积代数上构造余乘,余单位,典范幂等元使之成为弱乘子双代数.最后构造对极从而弱乘子Hopf代数.并且也研究了上面的对应的积分的存在性.同时我们也给出了不动点代数的定义.
  最后,引入了弱乘子Hopf代数上的对偶对的定义并得到了一些结论,覆盖了乘子Hopf和弱Hopf代数上相应的结果.并且我们发现这个推广是不平凡的,得到了一些特有的性质.有了对偶对的概念后,我们最后构造了弱乘子Hopf代数上量子偶,得到了更多的弱乘子Hopf代数的例子.
[硕士论文] 郭斐
计算机科学与技术;计算机应用技术 东南大学 2017(学位年度)
摘要:最大流是指在网络中从源点至汇点可以传输的最大流量,不确定图的最大流问题是传统最大流问题在不确定图上的自然延伸,主要研究当边的容量存在不确定性时,和图中流量传递能力、传递方案及其可靠性相关的各种问题。鉴于不确定性是系统的固有特性,加之其对于构建可靠性网络、选取最优传输路径以及评估网络关键边等有着深远影响,因而这类问题在研究和应用领域得到了广泛的关注。本文重点研究的最大流可靠性和最大流可靠分布是其中具有代表性的两个问题,考虑到d流的应用更具普遍性,最大流仅是它的特例,故对两种情况予以合并研究。
  本文首先对最大流/d流可靠性问题进行了研究,最大流/d流可靠性问题是指,网络在源点与汇点之间能够传递最大流量/d流时的概率,反映了网络的流量传递能力,是评估网络性能重要指标。该问题属于NP-hard问题,随着网络规模增大,精确算法的时间开销难以接受,无法适用于大型网络,因而各种近似算法被相继提出,以蒙特卡洛算法最具代表性,然而该近似算法需要计算所有随机样本状态的最大流,导致计算代价相对较高。为此,本文提出基于双重过滤的d流可靠性算法,利用过滤准则避免对部分无效样本状态的最大流计算,提高算法的效率。随之又提出基于最大流快速计算的d流可靠性算法,针对随机样本状态图之间的结构包容性,利用对大量最大流计算中反复用到的路径的缓存和索引,加快了增广路径的查找过程,进一步降低了计算随机状态最大流的时间开销。针对边失效概率较为接近或相等的特定网络系统,又提出基于K重失效模型的d流可靠性算法,利用基于失效边的分层抽样方式代替直接随机抽样,在同样的精确度要求下该算法能够减少采样次数,进一步提升近似算法的性能。
  其次,对最可靠最大流/d流分布问题进行了研究。不确定图中源点与汇点之间传递最大流量/d流时通常会对应多个流分布,从这些流分布中选择可靠性最高的流分布作为流传输方案是最可靠最大流/d流分布问题研究的主要内容。为了避免现有算法ISDA-d对不存在更可靠d流分布的区间无意义的划分,提出基于区间过滤的空间划分算法SDBA SF,提升空间划分算法的效率。考虑到在实际网络可能因故障导致拓扑结构发生变化,此时需要快速找到一个替代的流分布,静态环境下的算法因其复杂度过高而不再适用,为此,提出一种动态环境下可靠d流分布的快速求解方案,其主要思想是,预先计算原网络的Top-K最可靠d流分布及缓存所有的简单路径。若网络中的边发生损毁后原分布不可用,但损毁网络仍然可承载d流,则从已有的K-1个分布中快速获取一个仍然有效的d流分布;若不存在仍然有效的d流分布,则利用本文提出的简单路径替换算法对当前分布进行失效路径的替换,快速获取一个较为可靠的d流分布;若损毁网络不满足d流或依靠路径替换算法无法得到有效的d流分布,则利用基于路径替换的最可靠最大流/d流分布近似算法PRAA重新计算一个可靠性较高的最大流/d流分布。
  最后,本文通过一系列实验验证了本文所提出d流可靠性算法的精确性及其时间性能优势,并通过与现有的ISDA-d算法及SPCAA算法对比验证本文提出的SDBA SF算法及PRAA算法的性能优势。
[硕士论文] 许艳雪
基础数学 兰州理工大学 2017(学位年度)
摘要:Riordan矩阵是组合数学中的主要研究对象之一,它是一类特殊的无穷下三角形矩阵,将该类型矩阵向左展开成等腰三角形矩阵,我们将这种矩阵称为ISO型三角形矩阵.ISO型三角形矩阵的中间列即为Riordan矩阵的中心系数,以它的中间列为初始列,取该矩阵的右半部分就是Riordan矩阵的中心系数矩阵.本文在此基础上,通过多次重复上述过程定义了Riordan矩阵的(m,r)-中心系数及(m,r)-中心系数矩阵.作为应用,在最后我们给出两类特殊的Riordan矩阵,即Pascal矩阵和Catalan矩阵,并得到一些恒等式.
  第一章,主要介绍了本课题的研究背景,并给出了Riordan矩阵和Catalan矩阵的相关知识.
  第二章,首先给出Riordan矩阵的中心系数和r-中心系数的概念以及已有的研究成果,然后给出(m,r)-中心系数的概念以及它的生成函数.
  第三章,先介绍半-Riordan矩阵以及Riordan矩阵的r-中心系数矩阵,然后定义了Riordan矩阵的(m,r)-中心系数矩阵,并且得到许多非常有意义的结果.文章的最后研究了Pascal矩阵和Catalan矩阵的(m,r)-中心系数矩阵,并得到一些恒等式.
[博士论文] 黄晓昆
应用数学 湖南大学 2017(学位年度)
摘要:序代数是序和代数结构的结合,同时也可以看作普通代数的一种自然推广.而作为序代数的模糊化,模糊序代数是模糊序关系与代数相结合的产物.目前,随着对模糊序的研究工作日趋成熟,关于模糊序代数的研究也渐渐活跃起来.然而,现有关于模糊序代数的研究大多集中于对模糊序结构的讨论,而代数结构在其中仅扮演次要角色.此外,利用构造方法,许多学者对多种序代数上的粗糙集进行了研究,但却很少关注对相关结果的模糊化推广.基于以上原因,本文的主要目的有二:一是从更侧重于代数的角度来研究模糊序半群理论中的若干问题;二是对格上基于三角模的模糊粗糙算子进行系统的研究.具体研究内容如下:
  第一章是全文的综述,介绍了序半群理论、模糊代数、粗糙集理论、模糊粗糙集理论的研究历史与现状,并对本文的创新点及主要内容进行概述.
  第二章介绍本文要用到的关于模糊集、粗糙集、序半群和Quantale的一些基本知识.此外,为了对文献[96]中的相关结果进行改进,本章还给出了经由Quantale的模糊子集生成模糊理想的两种方法.
  第三章主要研究模糊序半群上的模糊理想,以及模糊序半群与模糊拓扑半群之间的关系.首先,在模糊序半群上引入了模糊理想、模糊双理想、模糊拟理想和模糊内理想的概念,探讨了它们之间的关系,并讨论了这些模糊理想组成的格结构和模糊格结构.其次,建立了模糊序半群与模糊拓扑半群之间的范畴对应关系.最后,对模糊序半群上的模糊理想进行推广,介绍了(∈,∈∨qk)-模糊理想和(∈,∈∨qk)-模糊内理想的概念,并给出它们的若干刻画.
  第四章探讨如何通过模糊理想的概念对模糊序半群进行刻画的问题.首先给出了正则模糊序半群和Duo模糊序半群的概念,并利用模糊序半群上的模糊左、右理想、模糊双理想和模糊拟理想对这两类特殊的模糊序半群进行刻画.其次,介绍了广义半单模糊序半群的定义,并分别利用其上的(∈,∈∨qk)-模糊理想和(∈,∈∨qk)-模糊内理想对广义半单模糊序半群进行刻画.
  第五章主要对格上的粗糙近似算子和基于三角模的模糊粗糙近似算子进行讨论.首先利用粗糙近似算子对分配半格上的理想进行刻画.然后在格上引入一种经由模糊集诱导的TL-模糊粗糙上、下近似算子,对其基本性质进行了讨论,并着重研究了利用TL-模糊粗糙近似算子对格上的TL-模糊理想进行刻画的方法.最后,定义了格上的TL-模糊拟粗糙理想,并讨论了它与格上的TL-模糊理想和TL-模糊粗糙理想之间的关系.
[博士论文] 张中喜
应用数学 湖南大学 2017(学位年度)
摘要:Domain理论,作为序理论的一个分支,被广泛地应用于数学,逻辑,计算机科学等各个领域。在Domain理论中,一个最基本的概念是way below关系,由定向集及它们的上确界所定义。在本文中,我们在偏序集上定义了一类新的关系,称作θ-逼近。由θ-逼近关系可以自然引申出θ-连续性的概念。我们给出了θ-连续偏序集的拓扑刻画,也就是,一个偏序集是连续的当且仅当它的θ-拓扑格是一个完全分配完备格。我们还给出了一类新的偏序集定向完备化方法,称作完备化,并研究了士连续性和完备化的联系。我们证明一个偏序集是θ-连续的当且仅当它的完备化是连续的定向完备偏序集。我们引入了拟连续性和交连续性,并证明一个偏序集P是θ-连续的当且仅当它是一个拟θ-连续和交θ-连续偏序集。
  当定向集被其他类型的子集所替代时,可以定义出新的“way below”关系和“连续性”。如果把定向集换作链,那么就有链连续偏序集的概念。而“way below”关系由任意子集来确定的时候,则可以定义出完全分配完备格。子集系统Z和Z-连续性的引入就是为了给这些概念一个统一的框架。在本文中,我们定义了连续性,覆盖了预连续性、完备预连续性和S2-连续性的概念。我们定义了关于子集系统Z的完备化,称作Z-完备化,把任意一个偏序集扩张成完备偏序集。我们证明,如果Z-是一个HUL-系统,且P是為-连续偏序集,则P的為-完备化也是為-连续的,并且一个完备偏序集L是P的一个為Z-完备化当且仅当P是L的嵌入式為-基。Dedekind-MacNeille完备化是Z-完备化的一个特例。由于D-完备化和Z-完备化都是通过泛性质定义的,一个自然的问题是如何刻画这些完备化。我们通过子集系统Z-和子集选择Z-定义了偏序集的一类子集,这类子集族称为办-完备化。我们证明,基于z和r的选取不同,办-完备化对应着不同的完备化,包括完备化和完备化。
  Domain理论最初的研究动机是为计算机程序语言的指称语义提供数学模型。众所周知,所有带最小元的domain和Scott连续映射构成的范畴CONTj_不是笛卡儿闭范畴。曾经,寻找CONT±的极大笛卡尔闭满子范畴是一个热门问题。最终发现,CONTi恰有两个极大笛卡尔闭满子范畴:L,所有L-domain构成的范畴,和F S,所有FS-domain构成的范畴。双有限domain的收缩和Scott连续映射构成的范畴R B是FS的子范畴,但现在依旧不知道是否反之亦然。当不要求带最小元时,所有domain和Scott连续映射构成的范畴C O N T则有四个极大笛卡尔闭满子范畴:F-L, F-FS, U-L和U-FS。同样地,现在也不知道范畴F-RB和U-RB是不是极大笛卡尔闭满子范畴。为了把domain的结果推广到一般的连续偏序集,自然的一个问题是由连续偏序集构成的笛卡儿闭范畴有哪些。所有定向完备偏序集和Scott连续映射构成的范畴D C P O是笛卡尔闭的,但是所有偏序集和Scott连续映射构成的范畴POSET不是笛卡尔闭的。令P表示POSET的一个笛卡尔闭满子范畴,C表示范畴CONT的一个子范畴。我们定义范畴C-P满足:一个偏序集P是C-P的对象当且仅当P是P中的对象且P的D完备化同构于C中的一个对象,以及所有的Scott连续映射是C-P的态射。记所有连续偏序集和Scott连续映射构成的范畴为CONTP,那么C-P总是CONTP的满子范畴。我们证明,如果C是范畴F-L, U-L, F-R B或者U-R B的笛卡尔闭满子范畴,那么C-P也是笛卡儿闭的。这使得关于domain的笛卡尔闭性质可以移植到连续偏序集上。已知所有相容完备偏序集和Scott连续映射构成的范畴C D C P O是笛卡尔闭的。具体地,我们有接下来的笛卡尔闭范畴:F-L-CDCPO, U-L-CDCPO, F-RB-CDCPO, U-RB-C D C P O, F-aL-CDCPO, U-aL-CDCPO, F-B-CDCPO, U-B-CDCPO等等。如果范畴F S和RB—致,则对CONT的任意笛卡尔闭满子范畴C,我们都有C-P是笛卡尔闭的。
[硕士论文] 何健
基础数学 兰州理工大学 2017(学位年度)
摘要:本文第一部分引入了伪半投射I-盖的概念.证明了每一个左R-模有伪半投射I-盖当且仅当每一个左R-模有投射I-盖,也证明了伪半投射模构成的类是投射类,进而利用伪半投射I-盖刻画了I-半正则环和I-半完备环,并推广了一些已有的结论.第二部分引入了强dualπ-Rickart模的概念,并研究了它的基本性质.讨论了强dualπ-Rickart模与强dual Rickart模,dualπ-Rickart模之间的关系,并用强dualπ-Rickart模刻画了强π-正则环.
[硕士论文] 李彦君
应用数学 兰州理工大学 2017(学位年度)
摘要:Hankel矩阵在计算数学,组合数学中有重要的应用.设(rn)n≥0是一个实数序列,(rn)n≥0的Hankel变换记作(hn)n≥0,其中hn=det(ri+j)ni,j=0是(rn)n≥0的n+1阶Hankel行列式.Riordan矩阵是一类无限下三角整数矩阵,这类矩阵在组合数学中有广泛应用.本文用两类Riordan矩阵给出了一类特殊序列(加权Motzkin序列)的Hankel变换.
  文章总共有三章内容,第一章简要的介绍了Riordan矩阵和Hankel变换的概念及国内外研究现状.
  第二章有三部分内容,首先详细的介绍了Riordan矩阵,指数型Riordan矩阵和生成矩阵的相关知识,在此基础上给两类Riordan矩阵用格路给出了组合解释.
  第三章我们得到了一个加法公式,依此公式来计算加权Motzkin序列的Hankel行列式,并将结论推广,最后在附表中列出了许多序列的Hankel行列式的值.
[博士论文] 邹志伟
数学 湖南大学 2017(学位年度)
摘要:Domain理论是拓扑学,格论以及范畴理论的交叉学科,而同时具有计算机应用背景.自上世纪七十年代产生以来,同时吸引着众多数学学者以及计算机程序语言学家的关注.经过几十年的发展,一方面对Domain结构本身有了更深入的了解,从连续格到连续的dcpo,到连续的偏序集,再到拟连续偏序集,交连续偏序集等,它们的性质以及与拓扑,范畴之间的联系被更多的挖掘.另一方面, Domain理论和信息系统,形式概念,粗糙集,模糊集等理论的联系更为密切.当然,这之间仍然存在不少问题以待解决.
  本文主要构造了一般偏序集上的算子理论.粗糙集理论的核心是通过上下逼近算子对不确定信息进行估计.经典粗糙集理论上的逼近算子是通过等价关系建立的,而一般偏序集上的序关系以及逼近关系都不是等价关系.因此,我们利用了偏序集上的辅助关系建立了另一种形式的逼近算子.该类算子与偏序集的连续性,辅助关系的插入性以及偏序集上的Scott拓扑都有着密切的联系.我们得到最重要的结论是能够通过算子对偏序集的连续性进行刻画.最后我们利用算子对连续偏序集的Scott闭包算子进行讨论,得到了Scott闭包算子的元素构成.
  本文还对Domain理论中的三个公开问题进行讨论.一,连续格和完全分配格的集族表示.二,偏序集上O2-收敛可拓扑化的充要条件.三, FS-domain与RB-domain在何时一致.
  集合是数学中最重要的工具之一,各种序结构的集族表示一直都是Domain理论中的一个重要研究课题.我们得到了集族在包含序下连续的一个充分条件,然后得到了连续格的集族表示.进一步对该条件加强,能得到代数格不同于有顶代数交结构的集族表示.而对于完全分配的完备格,利用我们的条件以及Deng的研究结果,我们得到了完全分配格的集族表示.众所周知,拓扑空间中的开集是一个特殊的集族,利用我们的结果给出了开集族在包含序下构成完全分配格的一个等价刻画.并在Xu的基础上,进一步讨论了连续偏序集上的Scott拓扑刻画.
  作为对O-收敛的推广, O2-收敛也是偏序集上的一类重要收敛. Zhao和Li对该类收敛进行了研究,并得到了其可拓扑化的一些条件.我们进一步讨论了该类收敛,通过定义偏序集上的O2-双连续,得到了其可拓扑化的充要条件.
  FS-domain与RB-domain是否一致的问题困惑了大多数Domain领域的学者多年.本文通过定义一种强有限分离函数,得到了一种介于FS-domain与RB-domain之间的domain,我们称之为SFS-domain.我们证明了在相容并半格或者是对偶相容并半格又或者是L-domain的前提下, FS-domain和SFS-domain是一致的.而通过一系列函数族的构造,证明了SFS-domain与RB-domain始终是一致的,也就是说我们给出了RB-domain的一种等价刻画.因此,在相容并半格或者是对偶相容并半格又或者是L-domain的前提下, FS-domain与RB-domain是一致的.最后,我们得到了FS-domain构成RB-domain的充要条件.
[博士论文] 王培
数学 湖南大学 2017(学位年度)
摘要:Pawlak在1982年提出了粗糙集理论.粗糙集理论是一种处理不完备信息系统的强大工具,也是处理不确定知识的有效工具,它已经被成功的应用于模式识别、数据挖掘、机器学习等领域.随后他们把经典粗糙集推广到覆盖粗糙集.进而覆盖粗糙集成为当前研究的热点之一.
  本文在此基础上,借助于一般拓扑学的有关知识,研究了由覆盖诱导的上近似算子成为闭包算子的刻画.
  针对覆盖近似空间,许多学者基于点的邻域定义了许多有意义的上下近似算子,他们研究了这些具有自反性的上近似算子的性质,并讨论了它们之间的关系.除此之外,他们不仅从拓扑的角度给出了一些特殊的刻画,还探讨了形式较为简单的上近似算子的闭包刻画.对于定义较为复杂的算子,葛等提出了关于覆盖粗糙集的一个公开问题.基于这个公开问题,我们利用拓扑的有关知识研究了具有自反性的覆盖粗糙上近似算子D6, D7以及D8.首先,我们定义了第一对称条件,第二对称条件,以及第三对称条件;其次,由这些条件我们研究了具有自反性领域的性质,并在此基础上,我们不仅给出了D6, D7以及D8成为闭包算子的一般刻画、拓扑刻画、直观刻画,还给出了这三类算子成为闭包算子在信息交换系统中的刻画.接着我们讨论了D1到D8这八类算子之间的关系,进而得到了它们之间的蕴含关系.如果它们之间没有蕴含关系,我们给出了相应的例子.为此我们不仅回答了公开问题,而且进一步丰富了覆盖粗糙集理论.
  我们还研究了不具有自反性的邻域N S(U)以及S,得到了N S(U)和S的有关性质,进一步得到了N S(U)成为弱一元覆盖的充要条件以及S的等价刻画.随后讨论了基于NS(U)构造的粗糙上近似算子aprNS成为闭包算子的充要条件,得到了该算子成为闭包算子的一般刻画,拓扑刻画,直观刻画等.除此之外,我们还讨论了基于S构造的粗糙上近似算子aprS以及基于映射n构造的粗糙上近似算子aprn成为拓扑闭包算子的一般刻画、拓扑刻画、直观刻画.最后我们讨论了基于覆盖的粗糙上算子aprS与广义粗糙算子R之间的关系.
  由于粗糙隶属度函数的复杂性,一些学者在该领域做了一些工作,但是这部分工作相对较少.本文针对一类特殊的近似算子C10构造了它对应的粗糙隶属度函数μCX(y)10以及关联函数gx(y).我们研究了关联函数gx(y)的基本性质,并用数值给出了关联函数gx(y)的等价刻画.接着我们给出了粗糙隶属度函数μCX(y)10的数值刻画,随后建立了近似算子C10与粗糙隶属度函数μCX(y)10之间的关系.最后我们给出该隶属度函数在医疗诊断中的应用并与经典的粗糙成员函数相比较,说明我们定义的函数使用范围更广,而且计算的精确度比经典的粗糙成员函数更高.从而进一步推动了对基于覆盖的粗糙隶属度函数的研究.
  总之,为了解决自反性邻域算子构造的上近似算子成为闭包算子的刻画,本文给出了相应的条件,完善了覆盖粗糙集近似上算子成为闭包算子的刻画,进一步丰富了粗糙集理论.
[硕士论文] 王宾
基础数学 兰州理工大学 2017(学位年度)
摘要:本文研究了逆半群的正规子半群格的相关性质,刻画了任意逆半群S的正规子半群格和S的最大群同态像S/σ的正规子群格Subng(S/σ)之间的关系.其次证明了Brandt半群S的正规子半群格SubnS是分配格,当且仅当S或者是带零的局部循环群,或者是Brandt半群B5.同时也给出了Brandt半群S的正规子半群格SubnS是0-分配格的充分必要条件.
  
[硕士论文] 徐露萍
统计学 青岛科技大学 2017(学位年度)
摘要:非线性矩阵方程的求解问题是近年来数值代数领域讨论的重要课题之一,它在最优控制理论、梯形网络、动态规划、随机过滤等领域均有广泛的应用.迭代法是求解非线性矩阵方程常用的方法,但在采用迭代法求解非线性矩阵方程时,经常会出现解的收敛速度缓慢、计算量大的问题.近年来,我们较多采用不动点迭代法和免逆迭代法求解非线性矩阵方程,其中免逆迭代法大大地简化了计算的复杂度.
  基于Kronecker积的性质,首先得到了非线性矩阵方程
  tmX+A*(Im(×)X-C)-t A=Q(t>0)
  存在Hermitian正定解的充分必要条件;其次,运用有界序列的收敛原理,分别提出了求解方程的不动点迭代法和免逆迭代法;最后,通过数值例子验证了这两种迭代方法的有效性.
  我们也考虑非线性矩阵方程
  Xs+A*X-t1 A+B*X-t2 B=I(s,t1,t2>0).
  首先得到方程存在Hermitian正定解的一些新的条件和唯一Hermitian正定解存在的充分条件,并通过对s,t1,t2取值范围的讨论,给出了方程解的存在区间;其次,构造了求解方程的不动点迭代法;最后,通过数值例子验证了迭代方法是行之有效的.
  进而,我们研究了非线性矩阵方程组
  {X+A*Y-1A=E Y+B*X-1B=F.
  首先得到方程组存在正定解的条件;其次,提出了求解方程组的不动点迭代法;最后,通过数值例子验证了迭代方法的有效性.
  最后,我们研究了非线性矩阵方程组
  {X+AY-1B=E Y+CX-1D=F.
  分别运用最速下降法和Newton法求解方程组的最小二乘解,并且通过具体的数值例子验证了Newton法的有效性.
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