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非线性数学物理方程的可积性、解析解及其应用研究
成果信息
立项支持
  • 公布年份:
    2016
  • 中图分类:
    O175.29
  • 关键词:
  • 成果简介:
    在许多科学技术领域,如流体力学、非线性光学、玻色-爱因斯坦凝聚等,都存在着各种类型的非线性偏微分方程,课题组通常称之为非线性数学物理方程。如何判断这些方程的可积性、获得其精确解析解并分析这些解的物理性质,是一个非常重要的研究课题。该项目研究属于应用数学学科,是孤子理论和可积系统与玻色-爱因斯坦凝聚的交叉研究领域。该项目主要针对非线性数学物理方程的可积性、解析解及其应用进行研究。课题组基于仿射曲面理论研究非线性波方程与局部几何曲面之间的联系,探索了具有高阶谱问题的非线性波方程的几何可积性;研究了连续型非线性数学物理方程的精确解析解;基于达布变换探索了半离散型非线性数学物理方程的解析解;研究了孤立子理论与可积系统在玻色-爱因斯坦凝聚中的新应用。该项目在2008年到2013年间,承担省部级项目3项。在国际权威物理刊物发表论文60篇,其中有20余篇发表在数学物理类top期刊Nonlinear Analysis;J.Phys. A.及J. Phys. B.等杂志上,JCR二区论文10余篇;参评的20篇论文中,8篇代表性论文SCI总引31次,其中他引29次;12篇其他重要论文SCI总引用60次,其中他引57次。通过该项目,培养优秀硕士研究生15名。基于该项目成果,王灯山获得北京市科技新星和北京市拔尖人才称号。取得的创新性成果如下:发展了分离变换方法,得到了高维Sin-Gordon方程的含有任意函数的解析解,并发现高维双曲sine-Gordon方程的描述的很多奇特的物理现象;推广了F函数展开法,求得了sine–Gordon和sinh-Gordon方程的许多新的解析解。研究了一维广义Fisher型扩散方程的几何可积性和Lax可积性;提出了椭圆方程展开法,得到了二维伯格方程的丰富的非行波解;将孤立子理论与可积系统中的研究方法应用到冷原子物理中,发现了非线性系统中类似于线性谐振子的能谱变化规律和量子信息。利用Lax可积理论讨论了非线性离散方程的N波Darboux变换、多孤子解和守恒律及相关的可积性质;讨论了离散孤子的弹性作用,非弹性作用以及弹性和非弹性共存现象;利用简化的双线性方法构造了三个2+1维非线性波动方程具有一个任意函数的多孤子局域解析解,并利用图像分析讨论了在不同参数情况下局域孤子解的裂变和熔合。利用伪球面几何方法,研究了一维广义Fisher型扩散方程的几何可积性和Lax可积性;提出了高维延拓结构方法,研究了二维广义Fisher型扩散方程的可积性分类。利用几何分析方法得到了变系数波动方程的周期解的存在性。该项目研究成果属于孤立子与可积系统和数学物理研究领域的国内先进水平。得到国内外同行专家的高度评价和广泛认可。其成果对应用数学、理论物理和工程技术的研究有重要的科学意义,也对许多高科技领域如、精密测量、量子计算、纳米技术等都有很好的应用前景。
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