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非线性扩散方程的若干定性研究
成果信息
立项支持
  • 公布年份:
    2016
  • 中图分类:
    O175.29
  • 关键词:
  • 成果简介:
    该项目属于抛物型偏微分方程研究领域。非线性扩散方程的研究有着相当长的研究历史和丰富的研究成果,它一直是偏微分方程研究领域的热点问题。该项目研究了一类在上世纪末以前一直处于空白状态的既具时滞又具退化奇异的非线性扩散方程的行波解,对含变号源的p-Laplace方程和渗流方程分别确定了行波解存在的充分必要条件,首次给出了光滑行波有限、半有限、无限的的分类,并对这类行波解的收敛速度给出了最优的估计。证明了同时包含卷积的扩散项和具有时滞的反应项的方程在生物学上有着特殊重要意义的临界波的稳定性这个一直未能解决的问题,且得到的衰减率是最优的。得到了高维全空间中Fisher-KPP方程非平面整体行波解的第一个稳定性结果。此结果得到了著名数学家美国艺术与科学院外籍院士H.Berestycki等人的引用。通过非线性源指标的完全分类,完整地刻画了一类具时空时滞的半线性扩散方程解的整体存在性及爆破性质。这是具时空时滞的扩散模型的临界Fujita指标理论的第一个结果,该结果也颠覆了人们所一直认为的时滞扩散模型可能不会发生爆破的想法。对一类含源的p-Laplace方程的Dirichlet边值问题以及同时具有非线性内部源与边界流的非散度型扩散方程研究了其整体存在性、熄灭性与爆破性质。该项目关于解的渐近复杂性的系统的研究工作,实质性地补充和完善了Vázquez(2006年国际数学家大会一小时报告人),Zuazua(西班牙国家奖获得者、欧洲人文和自然科学院院士)和Friedman(美国科学院院士、国家艺术与科学学院院士,工业与应用数学学会(1993-1994年)主席)等人早在上世纪八,九十年代就得到的关于Newton渗流方程在简单渐近行为方面的结果。课题组利用Newton渗流方程解的有限传播速度、尺度算子、半群算子等性质,系统研究了Newton渗流方程时空尺度解的复杂渐进行为。课题组还对Newton渗流方程解的有限传播速度给出了精细的估计,研究了Newton渗流方程时空尺度解的ω-极限集的情况。在国内外同行对非线性扩散方程的定性研究的一系列工作中,10篇代表作和10篇其他主要论文被国内外著名偏微分方程学家SCI他引134次。总之,该项目对于非线性扩散方程创立了一系列独特的研究思想、观点和方法,丰富了偏微分方程理论体系,极大地推动了学科发展,影响深远。
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